笔记：公钥加密算法

在一年多以前，我曾计划写一个系列，关于密码学基础的科普文章。但当我写完第一篇，散列算法的时候，便觉得自己功力尚浅，仍需修炼。今天重新捡起来，写下去。

公钥密码学，也称非对称加密，可以说是现代密码学的基础设施之一。公钥密码学也可以说标志着现代密码学的诞生，让密码学从政府，军方之间的斗智斗勇，成为了具有严谨数学基础的学科。
目前使用最为广泛的公钥加密算法：RSA, 其发明者因此获得图灵奖(计算机领域的最高奖项).

应该说密码学一直以来和军队，战争都是密不可分的。
我们设想这样一个场景，同属一个阵营的两个部队，被相隔一段距离，其间都被地方部队占领，这意味着他们之间通过信使传递的所有信息，都是可能被敌人监控(阅读)的。
那么如何在事先没有沟通的情况下安全地交换信息呢？

对于经典的对称加密算法(对等加密, 共享密钥加密), 这是很难做到的。因为对称加密需要一个密钥(密码), 而两个部队事先是没有沟通过的，没有对密钥达成共识。
而且他们现在也不可能再协商密钥，因为现在他们所有的通信都是被监控的了，一旦他们在这种环境下协商密钥，那么敌人也会知道密钥，便也能解密他们之后传送的加密信息。

对称加密对加密和解密都使用同一个密钥，我们可能需要的是一种针对加密和解密，使用不同密钥的加密算法，这便是非对称加密的含义。

试想，部队A可以生成一对密钥，分别用于加密(公钥)和解密(私钥), 然后将公钥发送给部队B. B便可以使用这份密钥对信息进行加密，再将加密信息发送回A了。
这里的公钥，即使被敌人获取也没有关系，因为这里的公钥，仅仅能够用于加密数据，而唯一可以解密数据的私钥，自始自终都在A手中，从未公布出去。
这样一来，A和B便可以在受监控的情况下，没有实现沟通，便能安全地交换信息了。

让我们进一步设想，如果敌人可以篡改A和B之间发送的信息呢？
例如当A发送公钥给B的时候，敌人将公钥拦截下来，自己生成一堆公私钥，将自己的公私钥发送给B. 相当于敌人冒充了B与A建立联系，建立了两个加密通道，分别是从A到敌人，和从敌人到B.
这样以来，敌人便可以在两个通道之间，监控到A和B通信的明文了，同时敌人还可以任意篡改A和B之间发送的信息，即使它们已经被加密。

这便是经典的“中间人攻击”. 应该说如果A和B没有事先沟通过，而且没有一个可信的第三方，那么这个问题几乎是无解的。

但如果允许A和B事先进行沟通，该如何在敌人可以篡改信息的前提下，安全地交换信息呢？

其实这个问题很好解决，只需在实现沟通时互相交换密钥即可，其后敌人(中间人)便无法再进行冒充了，因为密钥根本没有在这时被交换。
然而更为通用的做法是使用“数字签名”，数字签名恰好是公钥加密的逆运算。即将加密密钥保密，而将解密密钥公布出去，使得只有自己可以加密信息，而任何人都可以解密信息。
要实现数字签名，只需自己将要签名的信息(通常是一个散列摘要值)加密并公布即可，其他人可以认为，凡是用你公布出去的解密密钥能解密的信息，都是你自己加密(签名)过的。
这样便可以识别一段信息，是否真正地由其宣传的发信人所发送，识别出被中间人所篡改的信息。

在前面的情况下，我们还需要考虑的是“重放”攻击，即中间人虽然不知道A和B传输的实际内容，但却可以将其中的一份信息复制两遍甚至更多，已达到干扰的目的。通常应对重放攻击只需在加密信息中约定一个递增的编号，或者时间戳即可。

下面我们来讨论公钥加密算法(RSA)背后的数学原理，本人数学很渣，只能大概谈谈应用RSA时需要了解的一些原理，更详细的数学原理请围观各种大牛的文章，如： http://www.matrix67.com/blog/archives/5100

RSA基于这样一个原理：计算两个数的乘积是十分容易，但对一个数进行因式分解，得到这两个数却十分不易。
可能这个原理并不直观，甚至有点反常识，但RSA选择的两个数的乘积，都是2^2048这样数量级的数字，换算为十进制，那么将会是1后面跟6000多个0.

直到目前，对大数进行因式分解仍是一个难题，数学家还没有找到比试除法更高效一点的方法，因此在目前，对一个足够大的数进行因式分解可以认为是一项不可能完成的任务。但也不排除今后有数学家发明进行因式分解的简单方法，届时，RSA算法，甚至整个密码学，整个世界都会坍塌。

有点虎头蛇尾啊，本来打算最后举一个RSA计算的例子的，结果还是写不下去…